Question

20．設(shè)橢圓E₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=l（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)面積2的正方形，P是E₁上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓E₂：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}$=l
（1）若橢圓E₂上的點(diǎn)Q滿足：$\overrightarrow{OQ}=λ\overrightarrow{OP}（λ＞0）$，求λ的最小值；
（2）設(shè)E₁在P處的切線為l，l與E₂交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的傾斜角為$\frac{π}{4}$時(shí)，求三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的幾何性質(zhì)可知a=$\sqrt{2}$，b=1，得出E₁的方程，設(shè)P（x，y），則Q（λx，λy），代入E₂方程得出λ關(guān)于x的函數(shù)，從而得出λ的最小值；
（2）根據(jù)直線與E₁相切得出直線l的方程，代入E₂方程，得出|AB|，及O到AB的距離d，從而得出三角形OAB的面積．

解答 解：（1）由題意可知a²=2，b=c=1，
∴橢圓E₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
設(shè)P（x，y），則Q（λx，λy），∴λ²（$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}$）=1，
又$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，∴${λ}^{2}•\frac{4-{x}^{2}}{8}=1$，即${λ}^{2}=\frac{8}{4-{x}^{2}}$．
∴當(dāng)x=0時(shí)，λ_min=$\sqrt{2}$．
（2）當(dāng)l的傾斜角為$\frac{π}{4}$時(shí)，設(shè)l的方程為y=x+m，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
∵直線與橢圓E₁相切，
∴△=16m²-24（m²-1）=0，∴m²=3．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+8mx+4m²-8=0，
即5x²+8mx+4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{25}-\frac{16}{5}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$．
原點(diǎn)到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{14}}{5}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．