Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-alnx（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）討論方程f（x）=0解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）在A點處的切線方程是y=x+b，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；
（2）處理函數(shù)的單調(diào)性問題通常采用導(dǎo)法好用，若函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，則f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立；
（3）對a進行分類討論：當(dāng)a=0時，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＞0時．把a代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點即零點個數(shù)為0．

解答：解：（1）因為：f′(x)=x-

a

x

（x＞0），又f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b
所以

2-aln2=2+b 2- a 2 =1

解得：a=2，b=-2ln2（3分）
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上恒成立．則f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1（13分）
（3）當(dāng)a=0時，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時方程無解；（7分）
當(dāng)a＜0時，f′(x)=x-

a

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．∵f(1)=

1

2

＞0，f(e

1

2

)=

1

2

e

2

a

-1＜0，所以方程有惟一解．（8分）
當(dāng)a＞0時，f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x+ a )(x- a)

x

因為當(dāng)x∈(0，

a

)時，f'（x）＜0，f（x）在(0，

a

)內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x∈(

a

，+∞)時，f（x）在(

a

，+∞)內(nèi)為增函數(shù)．
所以當(dāng)x=

a

時，有極小值即為最小值f(

a

)=

1

2

a-aln

a

=

1

2

a(1-lna)．（10分）
當(dāng)a∈（0，e）時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＞0，此方程無解；
當(dāng)a=e時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)=0．此方程有惟一解x=

a

．
當(dāng)a∈（e，+∞）時，f(

a

)=

1

2

a(1-lna)＜0
因為f(

1

2

)=

1

2

＞0且1＜

a

，所以方程f（x）=0在區(qū)間(0，

a

)上有惟一解，（12分）
因為當(dāng)x＞1時，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1
所以x＞lnx，f(x)=

1

2

x2-alnx＞

1

2

x2-ax
因為2a＞

a

＞1，所以f(x)＞

1

2

(2a)2-2a2=0
所以方程f（x）=0在區(qū)間(

a

，+∞)上有惟一解．
所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有惟兩解．（14分）
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時，方程無解；
當(dāng)a＜0或a=e時，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時方程有兩解．（14分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論的思想，計算能力，屬于中檔題．此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點的判斷方法，是一道綜合題．