Question

已知函數(shù)f(x)=

1-|x+1|，x∈[-2，0] 2f(x-2)，x∈(0，+∞)

，若方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A．{a|-2＜a＜0}

B．{a|-2＜a≤0}

C．{a|-2＜a＜0或1＜a＜2}

D．{a|-2＜a＜0或a=1}

Answer 1

分析：作出函數(shù)y=f（x）和y=x+a的圖象．利用兩個圖象的交點個數(shù)問題確定a的取值范圍．

解答：解：若0≤x≤2，則-2≤x-2≤0，
∴f（x）=2f（x-2）=2（1-|x-2+1|）=2-2|x-1|，0≤x≤2．
若2≤x≤4，則0≤x-2≤2，
∴f（x）=2f（x-2）=2（2-2|x-2-1|）=4-4|x-3|，2≤x≤4．
∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4．
設y=f（x）和y=x+a，則方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，、
等價為函數(shù)y=f（x）和y=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不同的零點．
作出函數(shù)f（x）和y=x+a的圖象，如圖：
當直線經(jīng)過點A（2，0）時，兩個圖象有2個交點，此時直線y=x+a為y=x-2，
當直線經(jīng)過點O（0，0）時，兩個圖象有4個交點，此時直線y=x+a為y=x，
當直線經(jīng)過點B（3，4）和C（1，2）時，兩個圖象有3個交點，此時直線y=x+a為y=x+1，
∴要使方程f（x）=x+a在區(qū)間[-2，4]內(nèi)有3個不等實根，
則a=1或-2＜a＜0．
故選：D．

點評：本題主要考查方程根的個數(shù)的應用，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用數(shù)形結合是解決此類問題的基本方法．