Question

正四棱錐P—ABCD中，底面邊長為6，F、E分別在PA、PD上，且PA=3PF，PD=3PE，截面BCEF⊥側面PAD,

(1)求側棱與底面所成的角(結果用反三角表示)；

(2)求四棱錐A—BCEF的體積.

Answer 1

解：(1)取AD、BC、AC中點M、N、O，連結PN、GN、PO.?

以O為坐標原點，直線ON、OP分別為y軸、z軸，建立空間坐標系O—xyz.如圖，設P(0,0,t)(t＞0)，則A(3,-3,0),D(-3,-3,0),B(3,3,0),C(-3,3,0),F(1,-1,t),?

∴=(3,-3,-t),=(-6,0,0),=(2,4,-t),=(-6,0,0).?

設平面PAD的法向量m=(a,b,1),平面BCEF的法向量n=(c,d,1),?

由m=0,m=0,得a=0,b=-.?

∴m=(0,-,1).?

由n=0,n=0,得c=0,d=.?

∴n=(0, ,1).?

又平面PAD⊥平面BCEF，?

∴mn=0,則t=3.∴P(0,0,3).?

∴=(0,0,3),=(3,-3,-3).?

∴cos〈,〉==-.?

∴側棱PA與底面ABCD成45°.?

(2)n=(0, ,1),cos〈,n〉==，?

∴h=||cos〈,n〉=2.又S_BCEF=8,?

∴V_A—BCEF?=S_BCEF?h=16.

點評：在正棱錐中常常應用“高、側棱、斜高、底面線段”圍成的直角三角形和等腰三角形來分析線面關系.本題考查平面與平面垂直的性質定理和體積公式等.