Question

5．如圖，某自行車手從O點(diǎn)出發(fā)，沿折線O-A-B-O勻速騎行，其中點(diǎn)A位于點(diǎn)O南偏東45°且與點(diǎn)O相距20$\sqrt{2}$千米．該車手于上午8點(diǎn)整到達(dá)點(diǎn)A，8點(diǎn)20分騎至點(diǎn)C，其中點(diǎn)C位于點(diǎn)O南偏東（45°-α）（其中sinα=$\frac{1}{{\sqrt{26}}}$，0°＜α＜90°）且與點(diǎn)O相距5$\sqrt{13}$千米（假設(shè)所有路面及觀測(cè)點(diǎn)都在同一水平面上）．
（1）求該自行車手的騎行速度；
（2）若點(diǎn)O正西方向27.5千米處有個(gè)氣象觀測(cè)站E，假定以點(diǎn)E為中心的3.5千米范圍內(nèi)有長時(shí)間的持續(xù)強(qiáng)降雨．試問：該自行車手會(huì)不會(huì)進(jìn)入降雨區(qū)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理，即可求出AC的長，即可求出自行車的速度，
（2）先根據(jù)余弦定理，即可求出cos∠OAC，再根據(jù)正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比較即可．

解答 解：（1）由題意，知：OA=20$\sqrt{2}$，OC=5 $\sqrt{13}$，
∠AOC=α，sinα=$\frac{1}{\sqrt{26}}$．
由于0°＜α＜90°，所以cos=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{26}}}）^{2}$=$\frac{5\sqrt{26}}{26}$．      
由余弦定理，得AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}-2OA•OC•cosα}$=5$\sqrt{5}$．  
所以該自行車手的行駛速度為$\frac{5\sqrt{5}}{\frac{1}{3}}$=15$\sqrt{5}$ （千米/小時(shí)）．    
（2）如圖，設(shè)直線OE與AB相交于點(diǎn)M．在△AOC中，由余弦定理，
得：cos∠OAC=$\frac{O{A}^{2}+A{C}^{2}-O{C}^{2}}{2OC•AC}$=$\frac{2{0}^{2}×2+{5}^{2}×5-{5}^{2}×13}{2×20\sqrt{2}×5\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
從而 sin∠OAC=$\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．       
在△AOM中，由正弦定理，得：OM=$\frac{OAsin∠OAM}{sin（45°-∠OAM）}$=$\frac{20\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}（\frac{3\sqrt{10}}{10}-\frac{\sqrt{10}}{10}）}$=20，
由于OE=27.5＞40=OM，所以點(diǎn)M位于點(diǎn)O和點(diǎn)E之間，且ME=OE-OM=7.5．
過點(diǎn)E作EH AB于點(diǎn)H，則EH為點(diǎn)E到直線AB的距離．
在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°-∠OAC）=7.5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$＜3.5．
所以該自行車手會(huì)進(jìn)入降雨區(qū)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理以及解三角形的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．