Question

【題目】已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑.

（1）求證：；

（2）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數值表示結果）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據圓柱的幾何特征及圓周角定理，我們易根據已知中點P在圓柱的底面圓周上，AB為圓O的直徑，得到AP⊥BP，⊥BP，結合線面垂直的判定定理得到BP⊥平面后，易進一步得到BP⊥；
（2）延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，結合圓柱的體積為，，我們易得∠即為異面直線與所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案.

解：解：（1）證明：易知AP⊥BP，

又由⊥平面PAB，

得⊥BP，
從而BP⊥平面，

故BP⊥；
（2）解：延長PO交圓O于點Q，連接BQ，，

則BQAP，得∠或它的補角為異面直線與所成的角.
由題意，解得＝3.
又，則為的直角三角形，

則，

得，
由余弦定理得，
則異面直線與所成的角為.