Question

6．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{1+ax}{x-1}$（a為常數(shù)）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）＞m恒成立．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的值，
（Ⅱ）先判讀函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再求出最值即可得到m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=log₂$\frac{1+ax}{x-1}$是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴l(xiāng)og₂$\frac{1-ax}{-x-1}$=-log₂$\frac{1+ax}{x-1}$，即log₂$\frac{ax-1}{x+1}$=$\frac{x-1}{1+ax}$，
∴a=1，
（Ⅱ）由題意：m＜log₂$\frac{x+1}{x-1}$在x∈（1，3]時恒成立．
設(shè)1＜x₁＜x₂≤3，
∴g（x₁）-g（x₂）=$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，
∴g（x）在（1，3]上為減函數(shù)，
∴f（x）=log₂g（x）在（1，3]上為減函數(shù)上為減函數(shù)．
當(dāng)x=3時，f（x）有最小值，即f（x）_min=1，
故m＜1．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶單調(diào)性以及參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題．