Question

【題目】已知數(shù)列滿足（），（）．

（1）若，證明：是等比數(shù)列；

（2）若存在，使得，，成等差數(shù)列．

① 求數(shù)列的通項公式；

② 證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析

【解析】

（1）對兩邊同除以并整理得：，結(jié)合即可證得是等比數(shù)列，問題得證。

（2）①設(shè)，由（1）可得，結(jié)合，，成等差數(shù)列即可求得，問題得解。

②將轉(zhuǎn)化成，令，且，即可再轉(zhuǎn)化成，記（），利用導(dǎo)數(shù)即可求得，問題得證。

（1）由，得，得，即，

因為，所以，所以（），

所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．

（2）① 設(shè)，由（1）知，， 所以，即，

所以．因為，，成等差數(shù)列，

則，所以，所以，

所以，即．

② 要證，

即證，即證．

設(shè)，則，且，

從而只需證，當(dāng)時，． 設(shè)（），

則，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，因為，所以，

所以，原不等式得證．