Question

20．海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)每天從0時至24時的時間x（單位：時）與水深y（單位：米）的關(guān)系表：

時刻	0	3	6	9	12	15	18	21	24
水深	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

（1）請選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系；
（2）一條貨輪的吃水深度（船底與水面的距離）為4米，安全條例規(guī)定船體最低點與洋底間隙至少要有2.25米，請問該船何時能進出港口？在港口最多能停留多長時間？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的周期算出ω=$\frac{π}{6}$，由振幅的大小和平衡位置的水深得出A=2.5，B=5．再由x=3時y=7.5，達到最大值，建立關(guān)系式解出φ=2kπ（k∈Z）從而得到函數(shù)的表達式為：y=2.5sin$\frac{π}{6}$x+5（0≤x≤24）．
（2）根據(jù)安全間隙的規(guī)定解關(guān)于x的不等式，結(jié)合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17，即可算出該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間總和．

解答 解：（1）由題意知，可得
∵函數(shù)y=f（x）的周期T=12，振幅A=2.5，B=5，∴ω=$\frac{2π}{12}$=$\frac{π}{6}$，
又∵x=3時y=7.5，達到最大值，
∴由7.5=2.5sin（$\frac{π}{6}$×3+φ）+5，得sin（$\frac{π}{2}$+φ）=1，
即cosφ=1，得φ=2kπ（k∈Z）．
∴函數(shù)的表達式為：y=2.5sin$\frac{π}{6}$x+5（0≤x≤24）；
由該船進出港時，水深應(yīng)不小于4+2.25=6.25（m），
∴當(dāng)y≥6.25時，貨船就可以進港，即2.5sin$\frac{π}{6}$x+5≥6.25，
∴sin$\frac{π}{6}$x≥$\frac{1}{2}$，得$\frac{π}{6}$+2kπ≤$\frac{π}{6}$x≤$\frac{5π}{6}$+2kπ（k∈Z）
即1+12k≤x≤5+12k（k∈Z），結(jié)合0≤x≤24，得1≤x≤5或13≤x≤17．
即該船一天之內(nèi)在港口內(nèi)呆的時間段為凌晨1點到5點和下午13點到17點，停留的總時間為8小時

點評 本題給出實際應(yīng)用問題，求輪船在港口停留的總時長．著重考查了三角函數(shù)解析式求法和運用三角函數(shù)模型的解決應(yīng)用問題等知識，屬于中檔題．