Question

4．如圖在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁的中點．
（1）求證：CD⊥B₁C₁；
（2）求三棱錐C₁-B₁CD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥CC₁，AC⊥BC，由此能證明CD⊥B₁C₁．
（2）求出D到平面B₁C₁C的距離d=AC=1，三棱錐C₁-B₁CD的體積${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}={V}_{D-{B}_{1}{C}_{1}C}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∵CD?平面ACC₁A₁，∴CD⊥B₁C₁．
解：（2）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
AA₁=BC=2AC=2，D為AA₁的中點．
∴D到平面B₁C₁C的距離d=AC=1，
∴三棱錐C₁-B₁CD的體積：
${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}CD}={V}_{D-{B}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}×AC$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．