Question

15．已知圓O：x²+y²=4，點P為直線l：x=4上的動點．
（1）若從點P作圓O的切線，點P到切點的距離為$2\sqrt{3}$，求點P的坐標以及兩條切線所夾劣弧長；
（2）若A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB與圓O的另一個交點分別為M，N，求證：直線MN經(jīng)過定點（1，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)P（4，t）．
（I）設(shè)兩切點為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即4²+t²=4+12，解得t=0，所以點P坐標為（4，0），由此能夠求出兩切線所夾劣弧長；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），依題意，直線PA經(jīng)過點A（-2，0），P（4，t），可以設(shè)AP：y=$\frac{t}{6}$（x+2），和圓x²+y²=4聯(lián)立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，因為直線AP經(jīng)過點A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個根，然后由根與系數(shù)的關(guān)系進行求解．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)P（4，t）．
（1）設(shè)兩切點為C，D，則OC⊥PC，OD⊥PD，
由題意可知|PO|²=|OC|²+|PC|²，即4²+t²=4+12（2分）
解得t=0，所以點P坐標為（4，0）．（3分）
在Rt△POC中，易得∠POC=60°．（4分）
所以兩切線所夾劣弧長為$\frac{2π}{3}×2=\frac{4π}{3}$．（5分）
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（1，0），
依題意，直線PA經(jīng)過點A（-2，0），P（4，t），
可以設(shè)AP：y=$\frac{t}{6}$（x+2），（6分）
和圓x²+y²=4聯(lián)立，代入消元得到，（t²+36）x²+4t²x+4t²-144=0，（7分）
因為直線AP經(jīng)過點A（-2，0），M（x₁，y₁），所以-2，x₁是方程的兩個根，
所以有-2x₁=$\frac{4{t}^{2}-144}{{t}^{2}+36}$，x₁=$\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}$，（8分）
代入直線方程y=$\frac{t}{6}$（x+2），得y₁=$\frac{24t}{{t}^{2}+36}$．（9分）
同理，設(shè)BP：y=$\frac{t}{2}$（x-2），和圓x²+y²=4聯(lián)立，代入消元得到（4+t²）x²-4t²x+4t²-16=0，
因為直線BP經(jīng)過點B（2，0），N（x₂，y₂），所以2，x₂是方程的兩個根，x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$，
代入y=$\frac{t}{2}$（x-2），得到y(tǒng)₂=$\frac{-8t}{{t}^{2}+4}$．（11分）
若x₁=1，則t²=12，此時x₂=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=1
顯然M，Q，N三點在直線x=1上，即直線MN經(jīng)過定點Q（1，0）（12分）
若x₁≠1，則t²≠12，x₂≠1，
所以有k_MQ=$\frac{8t}{12-{t}^{2}}$，k_NQ=$\frac{8t}{12-{t}^{2}}$，（13分）
所以k_MQ=k_NQ，所以M，N，Q三點共線，
即直線MN經(jīng)過定點Q（1，0）．
綜上所述，直線MN經(jīng)過定點Q（1，0）．（14分）

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．