Question

3．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合、極軸與x軸的正半軸重合，若直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)直線l與圓ρ=2相交于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)P（1，1）到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的極坐標(biāo)方程，求出直線的參數(shù)方程．
（2）設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，直角坐標(biāo)方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+tcos\frac{π}{6}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t₁和t₂，
圓化為直角坐標(biāo)系的方程   x²+y²=4，
以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到 t²+（-3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）t+$\frac{13}{3}$=0  ①，
因?yàn)閠₁和t₂是方程①的解，從而 t₁t₂=$\frac{13}{3}$．
所以，|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{13}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．