Question

求證：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)一條線段的中點(diǎn)，那么這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)到這個(gè)平面的距離相等.

已知：線段AB的中點(diǎn)為O，O∈平面α.

求證：A、B兩點(diǎn)到平面α的距離相等.

Answer 1

證明：(1)當(dāng)線段在平面α上時(shí)，A、B兩點(diǎn)顯然到平面α的距離相等且為0.

(2)當(dāng)線段AB不在平面α上時(shí)，作AA₁⊥α，BB₁⊥α，A₁和B₁為垂足，則AA₁、BB₁分別是A、B到平面α的距離,且AA₁∥BB₁，AA₁、BB₁確定平面β，β∩α=A₁B₁.

∵O∈AB，ABβ,∴O∈β.又O∈α,

∴O∈A₁B₁.∴AA₁⊥A₁O，BB₁⊥B₁O.

∵∠AOA₁=∠BOB₁，AO=BO,

∴Rt△AA₁O≌Rt△BB₁O.∴AA₁=BB₁，

    即線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)到平面α的距離相等.

點(diǎn)評(píng):該題中，證明A₁、O、B₁三點(diǎn)共線是關(guān)鍵，離開(kāi)這一點(diǎn)，就無(wú)法證明三角形全等.另外，第（1）步有些同學(xué)往往漏掉，使證明失掉嚴(yán)謹(jǐn)性.