Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，則$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 設$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，由題意求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{1+3}$=2，再利用 cosθ=$\frac{\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$，求得θ的值．

解答 解：設$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為θ，θ∈（0°，180°），∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
∴4${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=7，即 4+4×1×$\sqrt{3}$×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+3=7，∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=0，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=$\sqrt{1+3}$=2．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{-\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{3}•2}$=$\frac{0-3}{\sqrt{3}•2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=150°，
故選：D．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，求向量的模，兩個向量垂直的判定，屬于中檔題．