Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1）
（1）當(dāng)k=e 時(shí)，求函數(shù)$h（x）=\frac{f（x）-g（x）}{x}$ 的極值；
（2）當(dāng)k＞0 時(shí)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂∈[1，2]，均有$|{\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}}|＞|{\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}}|$，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)$h（x）=\frac{f（x）-g（x）}{x}$ 在[1，e]上的最小值為$\frac{1}{2}$，若存在求出k 的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）不妨設(shè)x₁＞x₂，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}≥0$，從而求出k的最小值，得到k的范圍即可；
（3）求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論k的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，從而判斷結(jié)論即可．

解答 解：（1）注意到函數(shù)f（x） 的定義域?yàn)?（{0，+∞}），h（x）=lnx-\frac{{k（{x-1}）}}{x}（{x＞0}）$，
當(dāng)k=e 時(shí)，$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}$，若0＜x＜e，則h'（x）＜0；
若x＞e，則h'（x）＞0，所以h（x） 是（0，e）上的減函數(shù)，是（e，+∞）上的增函數(shù)，
故h（x）_極小值=h（e）=2-e，故函數(shù)h（x）極小值為2-e，無(wú)極大值；…3分
（2）$\frac{f（x）}{x}=lnx$ 在[1，2]上是增函數(shù)，當(dāng)k＞0 時(shí)，$\frac{g（x）}{x}=\frac{{k（{x-1}）}}{x}=k（{1-\frac{1}{x}}）$ 在[1，2]上是增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＞x₂，則$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}＞\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}$，$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}-\frac{{g（{x_1}）}}{x_1}＞\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}-\frac{{g（{x_2}）}}{x_2}$ …5分
設(shè)$h（x）=\frac{f（x）}{x}-\frac{g（x）}{x}=lnx-\frac{{k（{x-1}）}}{x}（{1≤x≤2}）$ 在[1，2]上是增函數(shù)
轉(zhuǎn)化為$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}≥0$，
在[1，2]上恒成立，k≤（x）_min=1，故實(shí)數(shù)k 的取值范圍為（0，1]…8分
（3）$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}$，當(dāng)k≤0 時(shí)，h'（x）＞0 對(duì)x＞0 恒成立，
所以h（x） 是（0，+∞） 上的增函數(shù)，h（x） 是[1，e]上的增函數(shù)，
h（x）_min=h（1）=0，不合題意，…9分
當(dāng)k＞0 時(shí)，若0＜x＜k，h'（x）＜0；若x＞k，h'（x）＞0；
所以h（x） 是（0，k） 上的減函數(shù)，是（k，+∞） 上的增函數(shù)，…10分
（�。┊�(dāng)k≥e 時(shí)，h（x） 是[1，e]上的減函數(shù)，$h{（x）_{min}}=h（e）=1-\frac{k（e-1）}{e}$，
令$1-\frac{k（e-1）}{e}=\frac{1}{2}$，解得$k=\frac{e}{{2（{e-1}）}}$，不滿足k≥e，舍去． …11分
（ⅱ）當(dāng)1＜k＜e，h（x） 是（1，k） 上的減函數(shù)，是（k，e） 上的增函數(shù)，
h（x）_min=h（k）=lnk-k+1 …12分
令$μ（x）=lnx-x+1（{x＞0}），μ'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，當(dāng)0＜x＜1 時(shí)，μ'（x）＞0；
當(dāng)x＞1 時(shí)，μ'（x）＜0．所以μ（x） 是（0，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞） 上的減函數(shù)，
故μ（x）≤μ（1）=0 當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)等號(hào)成立，h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≤0，
故最小值不是$\frac{1}{2}$，不合題意．…14分
（ⅲ）當(dāng)0＜k≤1 時(shí)，h（x） 是[1，e]上的增函數(shù)，h（x）_min=h（1）=0，不合題意，…15分
綜上，不存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)h（x）=f（x）-g（x） 在[1，e]上的最小值為$\frac{1}{2}$ …16分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力，是一道綜合題．