Question

4．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有四個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)f（x）的部分圖象求出A、ω以及φ的值即可；
（Ⅱ）求出f（x-$\frac{π}{12}$）=sin2x，化簡函數(shù)F（x），
根據(jù)題意設(shè)t=sin2x，則由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)t∈[0，1]，
把F（x）=0化為3t²+mt+2=0在[0，1]上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
由此求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，
A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2；
由“五點(diǎn)法畫圖”知，
2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$；
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）∵f（x-$\frac{π}{12}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=sin2x，
∴函數(shù)F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2
=3sin²（2x）+msin2x+2；
在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有四個(gè)不同零點(diǎn)，
設(shè)t=sin2x，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，
∴t∈[0，1]，
令F（x）=0，則3t²+mt+2=0在[0，1]上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
令g（t）=3t²+mt+2
則由$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（0）≥0}\\{g（1）＞0}\\{0＜-\frac{m}{6}＜1}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜-2$\sqrt{6}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-5＜m＜-2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由部分圖象求三角函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的應(yīng)用問題，是綜合性問題．