Question

16．中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的立體為“牟合方蓋”，如圖（1）（2），劉徽未能求得牟合方蓋的體積，直言“欲陋形措意，懼失正理”，不得不說“敢不闕疑，以俟能言者”．約200年后，祖沖之的兒子祖暅提出“冪勢既同，則積不容異”，后世稱為祖暅原理，即：兩等高立體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立體體積相等．如圖（3）（4），祖暅利用八分之一正方體去掉八分之一牟合方蓋后的幾何體與長寬高皆為八分之一正方體的邊長的倒四棱錐“等冪等積”，計(jì)算出牟合方蓋的體積，據(jù)此可知，牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)正方體的邊長為2r，可得$\frac{1}{8}$V_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}=\frac{1}{3}{r}^{3}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方體}$⇒V_牟合方蓋=$\frac{2}{3}{V}_{正方體}$

解答 設(shè)正方體的邊長為2r，因?yàn)閂_正方體=（2r）³=8r³，
$\frac{1}{8}$V_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}=\frac{1}{3}{r}^{3}$，
∴$\frac{1}{8}{V}_{\;}$_正方體-$\frac{1}{8}{V}_{牟合方蓋}$$\frac{1}{3}×\frac{1}{8}{V}_{正方體}$，
⇒V_牟合方蓋=$\frac{2}{3}{V}_{正方體}$，
牟合方蓋的體積與其外切正方體的體積之比為$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)文化，考查了閱讀能力，推理能力，屬于中檔題．