Question

已知f（x）=2^x-

1

2x

+1．
（1）證明函數(shù)在R上是增函數(shù)；
（2 ）求g（x）=

x

f(x)

的奇偶性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求f′（x），根據(jù)其符號即可證出f（x）為R上的增函數(shù)；
（2）求出g（x）=

x•2x

22x+2x-1

，通過換元：令2^x=t，t＞0，求出使2^2x+2^x-1=0的x，并且可以說明該方程只有一個解x₀≠0，從而可看出g（x）的定義域不關(guān)于原點對稱，所以判斷出該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．

解答： 解：（1）證明：f′（x）=2xln2+

ln2

2x

＞0；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）g（x）=

x•2x

22x+2x-1

；
若設(shè)2^x=t，（t＞0），h（t）=t²+t-1，t＞0；
h（t）的對稱軸為t=-

1

2

，所以在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∴h（t）∈（-1，+∞）；
∴存在唯一的t₀＞0，使h（t₀）=0，且t₀≠1；
∴存在唯一的x₀∈R，使2^2x+2^x-1=0，且x₀≠0；
∴g（x）的定義域為{x|x≠x₀}；
顯然定義域不關(guān)于原點對稱；
∴g（x）為非奇非偶函數(shù)．

點評：考查根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號證明函數(shù)單調(diào)性的方法，以及換元的方法，二次函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的值域，以及奇偶函數(shù)定義域的特點．