Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，點M、N分別在側(cè)棱PD、PC上，且PM=MD．
（1）求證：AM⊥平面PCD；
（2）若

PN

=

1

2

NC

，求平面AMN與平面PAB的所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AM⊥平面PCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AM與平面PCD內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知CD⊥AM，根據(jù)等腰三角形可知AM⊥PD，又PD∩CD=D，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）以點A為坐標原點，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，根據(jù)

PC

•

AN

=0可知PC⊥AN，從而平面AMN的法向量為

PC

，而平面PAB的法向量可為

AD

，求出兩平面的法相交的夾角即可求出平面AMN與PAB所成銳二面角的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，
則CD⊥側(cè)面PAD
∴CD⊥AM，又PA=AD=2，∴AM⊥PD．
又PD∩CD=D，∴AM⊥平面PCD．（5分）

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz又PA=AD=2，
則有P（0，0，2），D（0，2，0）
M（0，1，1），C（2，2，0）
∴

PC

=（2，2，-2）．
設(shè)N（x，y，z），∵

PN

=

1

2

NC

，則有
x-0=

1

2

(2-x)，∴x=

2

3

．
同理可得y=

2

3

，z=

4

3

．
即得N(

2

3

，

2

3

，

4

3

)．
由

PC

•

AN

=

4

3

+

4

3

-

8

3

=0，∴PC⊥AN
∴平面AMN的法向量為

PC

=（2，2，-2），
而平面PAB的法向量可為

AD

=（0，2，0），
∴cos＜

PC

，

AD

＞=

PC • AD

| PC |•| AD |

=

4

12 • 4

=

3

3

故所求平面AMN與PAB所成銳二面角的余弦值為

3

3

（13分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．