Question

7．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P是正方體棱上的一點（不包括棱的端點），滿足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的點P的個數(shù)為12；若滿足|PB|+|PD₁|=m的點P的個數(shù)為6，則m的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得點P是以2c=2$\sqrt{3}$為焦距，以a$\sqrt{5}$1為長半軸，$\sqrt{2}$為短半軸的橢圓與正方體與棱的交點，可求．
（2）利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點P的個數(shù)為6個時，短半軸長小于$\sqrt{2}$，求出m的范圍．

解答 解：∵正方體的棱長為2，
∴BD₁=$\sqrt{4+4+4}$=2$\sqrt{3}$，
∵點P是正方體棱上的一點（不包括棱的端點），滿足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$，
∴點P是以2c=2$\sqrt{3}$為焦距，以a=$\sqrt{5}$為長半軸，以$\sqrt{2}$為短半軸的橢圓，
∵P在正方體的棱上，
∴P應(yīng)是橢圓與正方體與棱的交點，
結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，滿足條件的點應(yīng)該在正方體的12條棱上各有一點滿足條件．
∴滿足|PB|+|PD₁|=$2\sqrt{5}$的點P的個數(shù)為12個．
（2）∵滿足|PB|+|PD₁|=m的點P的個數(shù)為6，
∴|PB|+|PD₁|=m＞|BD₁|=2$\sqrt{3}$，∴m＞2$\sqrt{3}$，
∵正方體的棱長為2，∴正方體的面的對角線的長為2$\sqrt{2}$，
∵點P的個數(shù)為6，∴b＜$\sqrt{2}$，
∵短半軸長b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$，∴$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-3}$$＜\sqrt{2}$，解得m＜2$\sqrt{5}$．
∴m的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．
故答案為：12，（2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）．

點評 本題考查滿足條件的點的個數(shù)的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．