Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的⊙E與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點Q（1，0）斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，若$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=-2，求斜率k的值；
（3）若（2）中的直線MN與⊙E交于A，B兩點，設(shè)點P在⊙E上．試探究使△PAB的面積為$\frac{\sqrt{21}}{12}$的點P共有幾個？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程可得斜率k；
（3）求得圓心到直線的距離，圓的弦長AB，由三角形的面積公式可得P到AB的距離，結(jié)合半徑與圓心到直線的距離之差的關(guān)系，即可判斷P的個數(shù)．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由直線和圓相切的條件可得d=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$=b，
又a²-c²=b²=3，
解得a=2，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)直線MN的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程3x²+4y²=12，
可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
判別式△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）
=144+144k²＞0恒成立，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²（x₁x₂+1-x₁-x₂）
=k²（$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$+1-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）=-$\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=-2，可得
x₁x₂+y₁y₂=-2，
即為$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{9{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-2，
解方程可得，k=±$\sqrt{2}$；
（3）直線MN：y=±$\sqrt{2}$（x-1），
圓E：x²+y²=3，可得圓心到直線的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
弦長|AB|=2$\sqrt{3-\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
所以當(dāng)△PAB面積為$\frac{\sqrt{21}}{12}$時，點P到直線AB的距離為$\frac{1}{4}$．
又圓心到直線AB的距離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，圓E的半徑r=$\sqrt{3}$，
且$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＞$\frac{1}{4}$，
所以圓上共有四個點P，使△PAB的面積為$\frac{\sqrt{21}}{12}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查直線和圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意直線和圓的位置關(guān)系的合理運用．