Question

5．已知函數f（x）=ax²-x（x∈R，a≠0），g（x）=lnx．若函數h（x）=f（x）-g（x）有兩個不同的零點，則a的取值范圍是0＜a＜1．

Answer 1

分析 先由f（x）=g（x）分離a，即求出a的表達式，再構造函數k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，再求導判斷單調性以及最值和特殊函數值的符號，求出滿足條件的a的范圍．

解答 解：由h（x）=f（x）-g（x）=0，得ax²-x=lnx（a≠0，x＞0），即a=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．
令k（x）=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$，則k′（x）=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
當0＜x＜1時，1-x-2lnx＞0，即k′（x）＞0，
∴k（x）在（0，1）上單調遞增，且k（e^-1）=$\frac{-1+{e}^{-1}}{{e}^{-2}}$＜0，
當x＞1時，1-x-2lnx＜0，即k′（x）＜0，
∴k（x）在（1，+∞）上單調遞減，且$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$．＞0，
∴k（x）在x=1處取得最大值k（1）=1，
故要是y=a和y=$\frac{lnx+x}{{x}^{2}}$的圖象有兩個交點，只需0＜a＜1．
故答案為：0＜a＜1．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的零點，正確轉化是解題的關鍵．