Question

17．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1有公共的焦點，C₂的一條漸近線與以C₁的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C₁恰好將線段AB三等分，則（　�。�

• A． a²=$\frac{11}{2}$
• B． a²=11
• C． b²=$\frac{1}{2}$
• D． b²=2

Answer 1

分析 雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得c=$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，取其漸近線方程y=2x，|AB|=2a．假設漸近線與橢圓相交于C，D，可得|CD|=$\frac{2a}{3}$．y=2x與橢圓方程聯(lián)立可得|CD|²，即可得出．

解答 解：雙曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得c=$\sqrt{2+8}$=$\sqrt{10}$=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，取其漸近線方程y=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$x=2x，
以C₁的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=a²．|AB|=2a．
假設漸近線與橢圓相交于C，D，則|CD|=$\frac{2a}{3}$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$，y²=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$．
∴|CD|²=4（$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}^{2}}{^{2}+4{a}^{2}}$）=$\frac{4{a}^{2}}{9}$，又b²=a²-10，
解得a²=11．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．