【題目】如圖,已知四棱錐中,平面平面平面平面,上任意一點(diǎn),為菱形對角線的交點(diǎn)。

(1)證明:平面平面;

(2)若,當(dāng)四棱錐的體積被平面分成3:1兩部分時(shí),若二面角的大小為,求的值。

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

(1)通過在面內(nèi)作交線的垂線,和面面垂直性質(zhì)定理證明面ABCD,再通過面PDB,證明平面平面。(2)設(shè)三棱錐的高為,由體積比可得,故此時(shí)的中點(diǎn)?勺C面。過點(diǎn)于點(diǎn),連接,則,故即為二面角的平面角,即。進(jìn)一步求的的值。方法二是利用空量向量求得比值。

(1)過點(diǎn)于點(diǎn)G,由于平面,所以

,故;同理,過點(diǎn),則

,且

所以面ABCD。所以,又,

,所以面面面。

2)若四棱錐的體積被面分成31兩部分,則的體積是整個(gè)四棱錐體積的,設(shè)三棱錐的高為,則為菱形的面積),所以,故此時(shí)的中點(diǎn),此時(shí),并且,故面,故,

過點(diǎn)于點(diǎn),則,連接,則,故即為二面角的平面角,即

設(shè),則,

中,,故,

可解得,故

解法二:如圖建立坐標(biāo)系,設(shè),設(shè)

的法向量為,設(shè)面面的法向量為,則,取,則

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】全國糖酒商品交易會(huì)將在四川舉辦.展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會(huì)人數(shù)與本店所需原材料數(shù)量的關(guān)系,在交易會(huì)前查閱了最近5次交易會(huì)的參會(huì)人數(shù)(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量(袋),得到如下數(shù)據(jù):

舉辦次數(shù)

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會(huì)人數(shù)(萬人)

11

9

8

10

12

原材料(袋)

28

23

20

25

29

(Ⅰ)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程

(Ⅱ)若該店現(xiàn)有原材料12袋,據(jù)悉本次交易會(huì)大約有13萬人參加,為了保證原材料能夠滿足需要,則該店應(yīng)至少再補(bǔ)充原材料多少袋?

(參考公式:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在一個(gè)文藝比賽中,12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組,給參賽選手打分,下面是兩組評(píng)委對同一名選手的打分:

小組A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45

小組B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47

1)選擇一個(gè)可以度量每一組評(píng)委打分相似性的量,并對每組評(píng)委的打分計(jì)算度量值.

2)你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個(gè)更像是由專業(yè)人土組成的嗎?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知菱形和矩形所在的平面互相垂直,,.

(1)求直線與平面的夾角;

(2)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,拋物線的焦點(diǎn),以為焦點(diǎn),離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為;自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn),設(shè).

(1)求拋物線的方程橢圓的方程;

(2)若,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合,,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)為常數(shù))的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行.

(1)若關(guān)于的不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)對于函數(shù)公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),我們把的值稱為兩函數(shù)在處的瞬間距離”.則函數(shù)的所有瞬間距離是否都大于2?請加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱柱的底面是正方形,的交點(diǎn),

。

(1)求證:平面

(2)求二面角的余弦值。

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