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【題目】如圖，已知四棱錐中，平面平面，平面平面，為上任意一點，為菱形對角線的交點。

（1）證明：平面平面；

（2）若，當四棱錐的體積被平面分成3：1兩部分時，若二面角的大小為，求的值。

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）通過在面內作交線的垂線，和面面垂直性質定理證明面ABCD，再通過面PDB,證明平面平面。（2）設三棱錐的高為，由體積比可得，故此時為的中點�？勺C面面。過點作于點，連接，則，故即為二面角的平面角，即。進一步求的的值。方法二是利用空量向量求得比值。

（1）過點作于點G，由于平面面，所以面

面，故；同理，過點作于，則

面，面,且

所以面ABCD。所以，又，

故面，所以面面面。

（2）若四棱錐的體積被面分成3：1兩部分，則的體積是整個四棱錐體積的，設三棱錐的高為，則（為菱形的面積），所以，故此時為的中點，此時，并且，故面面，故面，，

過點作于點，則面，連接，則，故即為二面角的平面角，即

設，則，

在中，，故，

可解得，故

解法二：如圖建立坐標系，設則，設

則

面的法向量為，設面面的法向量為，則，取，則

練習冊系列答案
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【題目】全國糖酒商品交易會將在四川舉辦.展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數與本店所需原材料數量的關系，在交易會前查閱了最近5次交易會的參會人數（萬人）與餐廳所用原材料數量（袋），得到如下數據：

舉辦次數

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數（萬人）

11

9

8

10

12

原材料（袋）

28

23

20

25

29

（Ⅰ）請根據所給五組數據，求出關于的線性回歸方程；

（Ⅱ）若該店現有原材料12袋，據悉本次交易會大約有13萬人參加，為了保證原材料能夠滿足需要，則該店應至少再補充原材料多少袋？

（參考公式：，）

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【題目】在一個文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一名選手的打分：

小組A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45

小組B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47

（1）選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量，并對每組評委的打分計算度量值.

（2）你能據此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人土組成的嗎？

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【題目】如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；

(2)求點到平面的距離.

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【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若以為直徑的圓過坐標原點，求的值.

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【題目】設拋物線的準線與軸交于，拋物線的焦點，以為焦點，離心率的橢圓與拋物線的一個交點為；自引直線交拋物線于兩個不同的點，設.

（1）求拋物線的方程橢圓的方程；

（2）若，求的取值范圍.

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【題目】已知集合，，若，求實數的取值范圍.

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【題目】已知函數與（為常數）的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.

（1）若關于的不等式有解，求實數的取值范圍；

（2）對于函數和公共定義域內的任意實數，我們把的值稱為兩函數在處的“瞬間距離”.則函數與的所有“瞬間距離”是否都大于2？請加以證明.

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【題目】如圖，四棱柱的底面是正方形，為和的交點，

若。

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值。

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