Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足a₁=1，a_na_n+1=3ⁿ（n∈N₊），則S₂₀₁₄=（　�。�

• A、2×3¹⁰⁰⁷-2
• B、2×3¹⁰⁰⁷
• C、

  32014-1

  2

• D、

  32014+1

  2

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，分組后利用等比數(shù)列的求和公式得答案．

解答： 解：由a_na_n+1=3ⁿ，得an-1an=3n-1（n≥2），
∴

an+1

an-1

=3(n≥2)，
則數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項和偶數(shù)項均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列，
又a2=

3

a1

=3．
∴S2014=

1×(1-31007)

1-3

+

3(1-31007)

1-3

=2×3¹⁰⁰⁷-2．
故選：A．

點評：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了數(shù)列的分組求和與等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．