Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P．
（1）若長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若∠F₁PF₂為直角，求橢圓的離心率；
（3）若∠F₁PF₂為銳角，求橢圓的離心率的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a²=b²+c²，P（0，±b）結(jié)合（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，得a=2，c=1（2）b=c（3）c＜b求解計(jì)算

解答： 解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P．
∴方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a²=b²+c²，P（0，±b）
（1）∵長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，∴a=2，c=1，b=

3

，
∴方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）∵∠F₁PF₂為直角
∴b=c，a²=b²+c²，a²=2c²，
e=

c

a

=

2

2

，
即橢圓的離心率

2

2

，
（3）∵∠F₁PF₂為銳角，
∴c＜b，a²=b²+c²，
c²＜a²-c²，
2c²＜a²，

c

a

＜

2

2

∴橢圓的離心率的范圍為（0，

2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的方程，幾何性質(zhì)，屬于計(jì)算題，難度不大．