Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3ax，g（x）=bx²+clnx，且g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)G(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，若方程G（x）=a²有且僅有四個解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)g′(x)=2bx+

c

x

，由條件，g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0，可建立方程，從而可求g（x）的解析式；
（2）確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)小于0，得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）分類討論，當(dāng)x＞0時，G(x)=g(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）在（0，+∞）上有極小值，即最小值為g(1)=

1

2

．當(dāng)x≤0時，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），令f′（x）=0，得x=-1，再對a進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的圖象，就可求出滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）先求導(dǎo)函數(shù)g′(x)=2bx+

c

x

，
由條件，g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為2y-1=0．
∴

g′(1)=0 g(1)= 1 2

，即

2b+c=0 b= 1 2

，
∴b=

1

2

，c=-1，
∴g(x)=

1

2

x2-lnx．
（2）由F(x)=ax3-3ax+

1

2

x2-lnx，其定義域為（0，+∞），F′(x)=3ax2-3a+x-

1

x

=

(x+1)(x-1)(3ax+1)

x

，
令F′（x）＞0，得（x-1）（3ax+1）＞0（*）
①若a≥0，則x＞1，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）；
②若a＜0，（*）式等價于（x-1）（-3ax-1）＜0，
當(dāng)a=-

1

3

，則（x-1）²＜0，無解，即F（x）無單調(diào)增區(qū)間，
當(dāng)a＜-

1

3

，則-

1

3a

＜x＜1，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

1

3a

，1)，
當(dāng)-

1

3

＜a＜0，則1＜x＜-

1

3a

，即F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，-

1

3a

)．
（3）G(x)=

ax3-3ax，x≤0 1 2 x2-lnx，x＞0

當(dāng)x＞0時，G(x)=g(x)=

1

2

x2-lnx，g′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

，
令g′（x）=0，得x=1，且當(dāng)x∈（0，1），g′（x）＜0，x∈（1，+∞），g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上有極小值，即最小值為g(1)=

1

2

．          
當(dāng)x≤0時，G（x）=f（x）=ax³-3ax，f′（x）=3ax²-3a=3a（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，得x=-1，
①若a=0，方程G（x）=a²不可能有四個解；-----------------------------（12分）
②若a＜0時，當(dāng)x∈（-∞，-1），f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，0），f′（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，0]上有極小值，即最小值為f（-1）=2a，
又f（0）=0，∴G（x）的圖象如圖1所示，
從圖象可以看出方程G（x）=a²不可能有四個解．----------（14分）
③若a＞0時，當(dāng)x∈（-∞，-1），f′（x）＞0，當(dāng)x∈（-1，0），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0]上有極大值，即最大值為f（-1）=2a，
又f（0）=0，
∴G（x）的圖象如圖2所示，
從圖象可以看出方程G（x）=a²若有四個解，
必須

1

2

＜a2＜2a，
∴

2

2

＜a＜2．
綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

2

2

，2)．

點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．