Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（x）-k有且只有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得若函數(shù)y=f（x）-k有且只有兩個零點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k有且只有兩個交點(diǎn)；作出函數(shù)y=f（x）的圖象，分析直線y=k與其圖象有且只有兩個交點(diǎn)時k的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若函數(shù)y=f（x）-k有且只有兩個零點(diǎn)，
則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k有且只有兩個交點(diǎn)，
而函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}，x＜1}\\{lo{g}_{2}x，x≥1}\end{array}\right.$，其圖象如圖，
若直線y=k與其圖象有且只有兩個交點(diǎn)，必有k＞$\frac{1}{2}$，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，+∞）；
故答案為：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)的問題．