Question

10．如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點(diǎn)F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)，M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求證：以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O；
（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁相切，求橢圓C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用焦點(diǎn)F（1，0），即可得出結(jié)論；設(shè)AB：x=4+ny，代入拋物線方程，證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可得出結(jié)論；
（2）P（4t²，4t），則OP⊥l，且OP的中點(diǎn)（2t²，2t）在直線l上，直線方程代入橢圓方程，利用△=0，可得結(jié)論．

解答 （1）解：拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=2px，
∵焦點(diǎn)F（1，0），
∴p=2
∴拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
設(shè)AB：x=4+ny，代入拋物線方程得y²-4ny-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-16，x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}{y}_{2}^{2}}{16}$=16，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；
（2）解：設(shè)P（4t²，4t），則OP⊥l，且OP的中點(diǎn)（2t²，2t）在直線l上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}=4+2nt}\\{\frac{4t}{4{t}^{2}}=n}\end{array}\right.$，∴n=±1，
由對(duì)稱性，不妨設(shè)t＜0，則n=1，直線l：x=y+4
設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，a²＞1，a＞0，與直線x=y+4聯(lián)立可得（2a²-1）y²+8（a²-1）y-a⁴+17a²-16=0，
由△=0得a²=$\frac{17}{2}$，b2=$\frac{15}{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{2{x}^{2}}{17}$+$\frac{2{y}^{2}}{15}$=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．