Question

16．直線3x-4y+4=0與拋物線x²=4y、圓x²+（y-1）²=1從左至右的交點依次為A，B，C，D，則$\frac{{|{CD}|}}{{|{AB}|}}$的值為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 由題意可得直線3x-4y+4=0過拋物線的焦點（即圓的圓心）F（0，1）點，由求得4y²-17y+4=0，可得y₁+y₂=$\frac{17}{4}$，y₁•y₂=1，由此能夠推導出答案．

解答 解：由已知圓的方程為x²+（y-1）²=1，拋物線x²=4y的焦點為（0，1），
直線3x-4y+4=0過（0，1）點，則|AB|+|CD|=|AD|-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{3x-4y+4=0}\end{array}\right.$ 求得4y²-17y+4=0．
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{17}{4}$，y₁•y₂=1．
∴y₁=$\frac{1}{4}$，y₂=4，
∴$\frac{{|{CD}|}}{{|{AB}|}}$=$\frac{|AF|-1}{|DF|-1}$=$\frac{（{y}_{1}+1）-1}{（{y}_{2}+1）-1}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{1}{16}$，
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點評 本題考查圓錐曲線和直線 的綜合運用，解題時要注意合理地進行等價轉化．