Question

4．設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點T（t，0）（t＞0），且過點F的直線，交C于A，B．
（I）當(dāng)t=2時，若過T的直線交拋物線C于兩點，且兩交點的縱坐標(biāo)乘積為-4，求焦點F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖，直線AT、BT分別交拋物線C于點P、Q，連接PQ交x軸于點M，證明：|OF|，|OT|，|OM|成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （I）設(shè)過T的直線方程為x=my+t，代入y²=2px，利用韋達(dá)定理，結(jié)合兩交點的縱坐標(biāo)乘積為-4，t=2，求出p，即可求焦點F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）確定直線PQ的方程，令y=0可得x=-$\frac{{y}_{3}{y}_{4}}{2p}$=$\frac{2{t}^{2}}{p}$，證明|OF||OM|=|OT|²，即可得出結(jié)論．

解答 （I）解：設(shè)過T的直線方程為x=my+t，代入y²=2px，可得y²-2pmy-2pt=0，
由韋達(dá)定理可得，兩根之積為-2pt，
∵兩交點的縱坐標(biāo)乘積為-4，
∴-2pt=4，
∵t=2，
∴p=1，
∴焦點F的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0））；
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
同理可得，y₁y₂=-p²，y₁y₃=-2pt，y₂y₄=-2pt，
∴y₃y₄=-4t²，
直線PQ的斜率為$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$，
∴直線PQ的方程為y-y₃=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$（x-x₃）．
令y=0可得x=-$\frac{{y}_{3}{y}_{4}}{2p}$=$\frac{2{t}^{2}}{p}$，
∴|OF||OM|=|OT|²，
∴|OF|，|OT|，|OM|成等比數(shù)列．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．