Question

3．已知直線y=x與函數(shù)g（x）=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象交于點M，若點P，Q分別是直線y=x與函數(shù)g（x）=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上異于M的兩點，且對任意點Q，PQ≥PM恒成立，則點P的橫坐標的取值范圍是（-∞，0]．

Answer 1

分析 求出M（2，2），設P（a，a），Q（x，$\frac{4}{x}$），根據(jù)PQ≥PM恒成立列出恒等式，利用基本不等式的性質(zhì)討論a，得出a的取值范圍．

解答 解：解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{4}{x}}\\{x＞0}\end{array}\right.$得M（2，2）．
設P（a，a），Q（x，$\frac{4}{x}$）．則PQ=$\sqrt{（x-a）^{2}+（\frac{4}{x}-a）^{2}}$，PM=$\sqrt{2（a-2）^{2}}$．
∴（x-a）²+（$\frac{4}{x}-a$）²≥2（a-2）²恒成立，
整理得：x²+$\frac{16}{{x}^{2}}$-2ax-$\frac{8a}{x}$≥8-8a恒成立．
∵x²+$\frac{16}{{x}^{2}}$$≥2\sqrt{16}=8$，
∴2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立．
顯然a=0時，上時恒成立．
若a＞0，則2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立?2x+$\frac{8}{x}$≤8恒成立，與2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}$=8矛盾．
若a＜0，則2ax+$\frac{8a}{x}$≤8a恒成立?2x+$\frac{8}{x}$≥8恒成立，而2x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{8}{x}}$=8恒成立．
∴a≤0．
故答案為（-∞，0]．

點評 本題考查了利用基本不等式解決恒成立問題，距離公式，屬于中檔題．