Question

8．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁，點(diǎn)M，N分別為A₁B和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面MAC；
（2）求證：MN∥平面A₁ACC₁．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理計(jì)算A₁B，A₁C，BC得出△A₁BC是等邊三角形，得出CM⊥A₁B，AM⊥A₁B，故而A₁B⊥平面MAC，于是平面A₁BC⊥平面MAC；
（2）連結(jié)AB₁，AC₁，由中位線定理得出MN∥AC₁，故而MN∥平面A₁ACC₁．

解答 證明：（1）∵$BC=\sqrt{A{B^2}+A{C^2}}$，${A_1}C=\sqrt{{A_1}{A^2}+A{C^2}}$，${A_1}B=\sqrt{{A_1}{A^2}+A{C^2}}$，AB=AC=AA₁，
∴BC=A₁C=A₁B，即△A₁CB為等邊三角形．
∵M(jìn)為A₁B的中點(diǎn)，∴A₁M⊥MC，
又∵四邊形AA₁B₁B為正方形，M為A₁B的中點(diǎn)，
∴A₁M⊥MA，又∵M(jìn)V∩MA=M，MC?平面MAC，MA?平面MAC，
∴A₁M⊥平面MAC．∵A₁M?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面MAC．
（2）連接AB₁，AC₁，
∵點(diǎn)M，N分別為AB₁和B₁C₁的中點(diǎn)，
∴MN∥AC₁
又MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直，線面平行的判定，屬于中檔題．