Question

如圖，以銳角△ABC的邊AB為直徑作半圓⊙O交邊BC、CA于點(diǎn)E、F．過(guò)點(diǎn)E、F分別作⊙O的切線得交點(diǎn)P．求證：CP⊥AB．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：連接AE、BF得交點(diǎn)Q，由已知得CQ⊥AB．延長(zhǎng)FP到點(diǎn)K，使PK=PF，連接EF、KE．則∠PEF=∠PFE=∠EAF．連接PQ并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，由已知推導(dǎo)出K、F、Q、E四點(diǎn)共圓，由此能證明CP⊥AB．

解答： 證明：如圖，連接AE、BF得交點(diǎn)Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴點(diǎn)Q為△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延長(zhǎng)FP到點(diǎn)K，使PK=PF，連接EF、KE．
由題意知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
連接PQ并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)H，
∵∠EQF=180°-∠AQF
=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=

1

2

∠EPF=90°-∠PEF
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四點(diǎn)共圓，
∵PK=PE=PF，
∴P必是該圓的圓心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四點(diǎn)共圓．
則∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三點(diǎn)共線，
∴CP⊥AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線垂直的證明，解題時(shí)要注意四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題．