Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令g（x）=f（x）-x²，若x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）≤0在[1，2]恒成立，即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值，由單調(diào)性可得右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)a＞0時，若e≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{e}$，若e＞$\frac{1}{a}$即a＞$\frac{1}{e}$時，通過單調(diào)性判斷函數(shù)的最值情況，即可得到a的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，可得f′（x）≤0在[1，2]恒成立，
即有-a≥2x-$\frac{1}{x}$的最大值，
由2x-$\frac{1}{x}$在[1，2]遞增，可得最大值為4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
即有-a≥$\frac{7}{2}$，解得a≤-$\frac{7}{2}$；
（2）g（x）=f（x）-x²=ax-lnx，
①當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，e]遞減，
x=e處取得最小值ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$＞0不成立；
②當(dāng)a＞0時，g′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若e≤$\frac{1}{a}$即0＜a≤$\frac{1}{e}$，則g′（x）＜0，g（x）遞減，
則有最小值g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$不成立；
若e＞$\frac{1}{a}$即a＞$\frac{1}{e}$，則在0＜x＜$\frac{1}{a}$，g′（x）＜0，g（x）遞減，
在$\frac{1}{a}$＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）遞增．
則有x=$\frac{1}{a}$處取得極小值，且為最小值1+lna=3，解得a=e²．
綜上可得a的值為e²．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．