Question

2．${（{2-\sqrt{x}}）^n}$的二次展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為256，則展開式中x⁴項的系數(shù)為1．

Answer 1

分析 由題意可得：2ⁿ=256，解得n=8．再利用通項公式即可得出．

解答 解：由題意可得：2ⁿ=256，解得n=8．
∴$（2-\sqrt{x}）^{8}$的通項公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}$2^8-r$•（-\sqrt{x}）^{r}$=2^8-r（-1）^8-r${∁}_{8}^{r}$${x}^{\frac{r}{2}}$．
令$\frac{r}{2}$=4，解得r=8．
∴展開式中x⁴項的系數(shù)為2^8-8（-1）⁰${C}_{8}^{8}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了二項式定理的應用及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．