Question

等差數列{a_n}的前n項和為S_n，公差d＜0，若存在正整數m（m＞1）使a_m=S_m，則當n＞m時，S_n與a_n的大小關系為（　�。�

A．S_n＞a_n

B．S_n＜a_n

C．S_n=a_n

D．不能確定

Answer 1

分析：由題意可知S_m-1=0，由S_m-1=0得到首項與公差和m的關系，把要比較的兩數作差后代入a1=

(2-m)d

2

，因式分解后由已知得結論．

解答：解：由a_m=S_m=a₁+a₂+…+a_m-1+a_m，得S_m-1=0，
∴(m-1)a1+

(m-1)(m-2)d

2

=0，
∵m＞1，∴a1=

(2-m)d

2

．
S_n-a_n=na1+

n(n-1)d

2

-[a1+(n-1)d]
=(n-1)a1+

n2d-nd-2nd+2d

2

=(n-1)•

(2-m)d

2

+

n2d-3nd+2d

2

=

2nd-2d-mnd+md+n2d-3nd+2d

2

=

(n-1)(n-m)d

2

．
∵m＞1，n＞m，d＜0，
∴S_n-a_n＜0，即S_n＜a_n．
故選：B．

點評：此題考查等差數列的性質，考查了等差數列的前n項和，訓練了作差法比較兩個數的大小，是中檔題．