Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n且滿足S_n=a_n+1（n∈N^*），a₁=1
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂（2a_n），求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式公式得到數(shù)列{a_n}從第二項開始，以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，即可求出{a_n}的通項公式
（Ⅱ）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得到b_n，再根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式分組求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=a_n+1（n∈N^*），
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=a₂=1
∴S_n-1=a_n，
∴a_n=a_n+1-a_n，
∴a_n+1=2a_n，
∴數(shù)列{a_n}從第二項開始，以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^n-2，n≥2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$，
（Ⅱ）當(dāng)n=1時，b₁=log₂（2a₁）=1，
當(dāng)n≥2時，b_n=log₂（2a_n）=n-1，
∴T_n=a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+a_n+b_n=a₁+b₁+（a₂+a₃+…+a_n）+（b₂+b₃+…+b_n）=2+$\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+$\frac{（n-1）（1+n）}{2}$=2^n-1+$\frac{{n}^{2}-1}{2}$+1=2^n-1+$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$

點評 本題主要考查數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的通項公式，分組求和，屬于中檔題．