Question

15．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且滿足b²+c²-a²=bc．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，記△ABC的周長為y，試求y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，結合范圍A∈（0，π），可求A的值．
（2）由正弦定理，得b=2sinB，$c=2sin（\frac{2}{3}π-B）$，其中$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可求周長$y=\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{2}{3}π-B）=2\sqrt{3}（B+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，由$B∈（0，\frac{2}{3}π）$利用正弦函數(shù)的性質即可計算得解．

解答 解：（1）∵b²+c²-a²=bc．
∴由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$及正弦定理，得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
得b=2sinB，$c=2sin（\frac{2}{3}π-B）$，其中$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，
所以周長$y=\sqrt{3}+2sinB+2sin（\frac{2}{3}π-B）=2\sqrt{3}（B+\frac{π}{6}）+\sqrt{3}$，
由于$B∈（0，\frac{2}{3}π）$，得$B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
從而周長$y∈（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．