Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．分別過O，F(xiàn)的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)E（異于A，C兩點(diǎn)），且OE=EF=1．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意及橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；
（2）將直線AB和CD方程代入橢圓方程，分別求得A，B和C，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)直線的斜率公式，即可證明直線AC，BD的斜率之和．

解答 解：（1）由題意，得c=1，橢圓離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；                            5分
（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx，
直線CD的方程為y=-k（x-1），③7分
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為x=±$\sqrt{\frac{2}{2{k}^{2}+1}}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)為x=$\frac{2{k}^{2}±\sqrt{2（{k}^{2}+1）}}{2{k}^{2}+1}$，9分
記A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
則直線AC，BD的斜率之和為$\frac{k{x}_{1}-k（1-{x}_{3}）}{{x}_{1}-{x}_{3}}$+$\frac{k{x}_{2}-k（1-{x}_{4}）}{{x}_{2}-{x}_{4}}$，
=k•$\frac{（{x}_{1}+{x}_{3}-1）（{x}_{2}-{x}_{4}）+（{x}_{1}-{x}_{4}）（{x}_{2}+{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$，
=k•$\frac{2（{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{3}{x}_{4}）-（{x}_{1}+{x}_{2}）+（{x}_{3}+{x}_{4}）}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$，
=k•$\frac{2（\frac{-2}{2{k}^{2}+1}-\frac{2（{k}^{2}-1）}{2{k}^{2}+1}）-0+\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}}{（{x}_{1}-{x}_{3}）（{x}_{2}-{x}_{4}）}$=0，
直線AC，BD的斜率之和為定值0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．