Question

17．已知圓C經(jīng)過兩個點A（2，-3）和B（-2，-5），且圓心在直線x-2y-3=0上．
（1）求此圓C的方程；
（2）直線l：x+my+m+2=0（m為常數(shù)）與圓C相交于M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（2a+3，a），再由圓C經(jīng)過A（2，-3）和B（-2，-5）兩點，可得|CA|²=|CB|²，即（2a+1）²+（a+3）²=（2a+5）²+（a+5）²，求得a的值，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑，從而求得圓C的方程．
（2）直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，CA的斜率為0，l∥y，可得直線l被圓C截得的弦長的最小值．

解答 解：（1）由于圓心在直線x-2y-3=0上，故可設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C（2a+3，a），
再由圓C經(jīng)過A（2，-3）和B（-2，-5）兩點，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，
∴（2a+1）²+（a+3）²=（2a+5）²+（a+5）²．
解得a=-2，故圓心C（-1，-2），半徑r=$\sqrt{10}$，
故圓C的方程為 （x+1）²+（y+2）²=10；
（2）直線l可化為m（y+1）+（x+2）=0
令 $\left\{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{x+2=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=-1，∴直線l恒過定點D（-2，-1），
∵|CD|²=2＜10，故D在圓的內(nèi)部，
∴不論m為何值時，直線l和圓C恒有兩個交點；
直線l被圓C截得的弦長的最小時，弦心距最大，此時CD⊥l，
∵圓C：（x+1）²+（y+2）²=10，圓心C（-1，-2），半徑為$\sqrt{10}$，
CD=$\sqrt{2}$，
∴直線l被圓C截得的弦長的最小值為2$\sqrt{10-2}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，考查直線恒過定點，考查弦長的計算，解題的關(guān)鍵是掌握圓的特殊性，是一道中檔題．