Question

如圖，對于曲線Ψ所在平面內(nèi)的點O，若存在以O(shè)為頂點的角α，使得α≥∠AOB對于曲線Ψ上的任意兩個不同的點A、B恒成立，則稱角α為曲線Ψ上的任意兩個不同的點A、B恒成立，則稱角α為曲線Ψ的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線Ψ的相對于點O的“確界角”．已知曲線C：y=

1+9x2 (x≤0) xex-1+1(x＞0)

（其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），O為坐標(biāo)原點，則曲線C的相對于點O的“確界角”為（　�。�

• A、

  π

  4

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  3π

  4

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，當(dāng)x≤0時，曲線y=

1+9x2

與直線y=k₁x無限接近，考慮漸近線，求出k₁=-3；當(dāng)x＞0時，設(shè)出切點，求出切線的斜率，列出方程，求出切點（1，2），即得k₂=2，再由兩直線的夾角公式即可得到所求的“確界角”．

解答： 解：畫出函數(shù)f（x）的圖象，過點O作出兩條直線與曲線無限接近，設(shè)它們的方程分別為y=k₁x，y=k₂x，
當(dāng)x≤0時，曲線y=

1+9x2

與直線y=k₁x無限接近，即為雙曲線的漸近線，故k₁=-3；
當(dāng)x＞0時，y′=e^x-1+xe^x-1，設(shè)切點為（m，n），則n=k₂m，
n=me^m-1+1，k₂=e^m-1+me^m-1，即有m²e^m-1=1，
由x²e^x-1（x＞0）為增函數(shù)，且x=1成立，故m=1，k₂=2，
由兩直線的夾角公式得，tanθ=|

2-(-3)

1+2×(-3)

|=1，
故曲線C相對于點O的“確界角”為

π

4

．
故選A．

點評：本題考查新定義“確界角”及應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線，雙曲線的性質(zhì)：漸近線，屬于中檔題．