Question

．（本小題滿分14分）

                      已知橢圓、拋物線的焦點均在軸上，的中心和的頂點均為原點，從每條曲

線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

	3	2	4
		0	4

                      （Ⅰ）求的標準方程；

                      （Ⅱ）請問是否存在直線滿足條件：①過的焦點；②與交不同兩點且滿

足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設拋物線，則有，據此驗證個

點知（3，）、（4，4）在拋物線上，易求      ………………3分

 

                        設：，把點（2，0）（，）代入得：

                             解得

∴方程為  ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）法一：

假設存在這樣的直線過拋物線焦點，設直線的方程為兩交點坐標為

，

                        由消去，得…………………………9分

                        ∴     ①

                   ②      ………………………10分

                      由，即，得

將①②代入（*）式，得， 解得  …………………13分

所以假設成立，即存在直線滿足條件，且的方程為：或…………………………………………………………………………………14分

法二：容易驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意；……………………………7分

當直線斜率存在時，假設存在直線過拋物線焦點，設其方程為，與

的交點坐標為

由消掉，得 ，  …………9分

于是 ，    ①

即   ② ………………………………11分

由，即，得

將①、②代入（*）式，得  ，解得；……13分

所以存在直線滿足條件，且的方程為：或．………14分

 

【解析】略