Question

11．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是其兩個焦點，點M在雙曲線上．若∠F₁MF₂=90°，則△F₁MF₂的面積是9．

Answer 1

分析 利用雙曲線的定義，可求得||MF₁|-|MF₂||=2a=4，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{13}$，先由勾股定理求得|MF₁|•|MF₂|=18，再利用△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=2，b=3，
可得c²=a²+b²=13，
又||MF₁|-|MF₂||=2a=4，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{13}$，∠F₁MF₂=90°，
在△F₁AF₂中，由勾股定理得：
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²
=（|MF₁|-|MF₂|）²+2|MF₁|•|MF₂|，
即4c²=4a²+2|MF₁|•|MF₂|，
可得|MF₁|•|MF₂|=2b²=18，
即有△F₁MF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂=$\frac{1}{2}$×18×1=9．
故答案為：9．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，著重考查雙曲線的定義與a、b、c之間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．