Question

16．在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB=CD=1，AC=$\sqrt{3}$，AD=DE=2．
（Ⅰ）在線段CE上取一點(diǎn)F，作BF∥平面ACD（只需指出F的位置，不需證明）；
（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的點(diǎn)F，求三棱錐B-FCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可確定F的位置
（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可求三棱錐B-FCD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）取線段CE的中點(diǎn)F，連接BF，則BF∥平面ACD；
（Ⅱ）∵AD²=AC²+CD²，∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，
∴AC⊥DE，
∵DE∩CD=D，
∴AC⊥平面CDE，
∵DE⊥平面ACD，AB⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∵AB?平面CED，DE?平面CED，
∴AB∥平面CDE，
∴B到平面FCD的距離為AC，
∵S_△FCD=$\frac{1}{2}$S_△ECD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×2=\frac{1}{2}$，
∴三棱錐B-FCD的體積V=$\frac{1}{3}AC•$S_△FCD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判斷以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及體積公式是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．