Question

6．若點O（0，0）和點$F（\sqrt{3}，0）$分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的中心和右焦點，A為右頂點，點M為雙曲線右支上的任意一點，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-1，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． [-2，+∞）
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線的焦點和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設(shè)出點M，代入雙曲線方程求得縱坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)M，F(xiàn)，O的坐標(biāo)表示$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范圍．

解答 解：設(shè)M（m，n），A（a，0），
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$=（m，n）•（m-a，n）=m²-am+n²．
由F（$\sqrt{3}$，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的右焦點，
可得a²+1=3，即a=$\sqrt{2}$，
則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，
由點M為雙曲線右支上的任意一點，
可得$\frac{{m}^{2}}{2}$-n²=1（m≥$\sqrt{2}$），
即有n²=$\frac{{m}^{2}}{2}$-1，
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$=m²-$\sqrt{2}$m+n²=m²-$\sqrt{2}$m+$\frac{{m}^{2}}{2}$-1=$\frac{3}{2}$（m-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，
由m≥$\sqrt{2}$＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
可得函數(shù)在[$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
即有m²-$\sqrt{2}$m+n²≥2-2+1-1=0，
可得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$的取值范圍為[0，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程度以及知識的綜合應(yīng)用能力、運算能力．