Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，滿足a₁=1，公差d＞0，且a₂=b₂，a₆=b₃，a₂₂=b₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}對任意正整數(shù)n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…

cn

bn

=a_n+1成立，設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S₂₀₁₅≥e²⁰¹⁵（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接根據(jù)已知條件建立方程組，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）利用構(gòu)造的新數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式求出數(shù)列的和，進(jìn)一步求出結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍₂=1+d，a₆=1+5d，a₂₂=1+21d，且a₂，a₆，a₂₂是等比數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)，
所以：（1+5d）²=（1+d）（1+21d），由于d＞0
解得：d=3．
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2，
又b₂=a₂=4，b_，3=a₆=16
所以q=4，b₁=4
所以：bn=4n-1
（Ⅱ）證明：因?yàn)?span id="nvc7x2a" class="MathJye">

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1所以當(dāng)n≥2時(shí)，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an
兩式作差可得，

cn

bn

=3
所以：c_n=3b_n=3•4^n-1（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，c₁=b₁a₂=4，不滿足上式，故cn=

4(n=1) 3•4n-1(n≥2)

于是S2015=4+3•41+3•42+…+3•42014=4+3（4¹+4²+…+4²⁰¹⁴）
=4²⁰¹⁵＞e²⁰¹⁵

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．