Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“倍值區(qū)間”，下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

 

．
①f（x）=2x（x∈R）
②f（x）=x²（x≥0）
③f（x）=e^x（x∈R）
④f（x）=lnx（x＞0）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知可得若函數(shù)f（x）存在“倍值區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=2x，在定義域至少存在兩個(gè)不相等的根，逐一判斷四個(gè)函數(shù)，可得結(jié)論．

解答： 解：若函數(shù)f（x）存在“倍值區(qū)間”，
則函數(shù)f（x）=2x，在定義域至少存在兩個(gè)不相等的根，
對于①，f（x）=2x（x∈R），顯然滿足條件；
對于②，令f（x）=x²=2x，（x≥0），解得x=0，或x=2，故存在區(qū)間[0，2]滿足條件，故函數(shù)存在“倍值區(qū)間”；
對于③，令f（x）=e^x=2x，（x∈R），方程無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
對于④，令f（x）=lnx=2x，（x＞0），方程無解，故函數(shù)不存在“倍值區(qū)間”；
故答案為：①②

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)圖象和性質(zhì)，其中正確理解函數(shù)f（x）存在“倍值區(qū)間”的含義，是解答的關(guān)鍵．