Question

已知P點(diǎn)在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)H（-3，0），E（-1，0），點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足

HP

•

PM

=0，

PM

=-

3

2

MQ

．當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，記點(diǎn)M的軌跡為G．在軌跡G上經(jīng)過點(diǎn)F（1，0）作弦AB
（1）求軌跡G的方程；
（2）若

AF

=λ

FB

，求證：

EF

⊥（

EA

-λ

EB

）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,軌跡方程

專題：計(jì)算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，利用題意向量的關(guān)系，求得x和y的關(guān)系，進(jìn)而求得M的軌跡G的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=k（x-1），運(yùn)用拋物線的定義和聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求出x₁=λ，x₂=

1

λ

，求得|AE|=λ|EB|，再由向量垂直的條件，即可得證．

解答： （1）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由

PM

=-

3

2

MQ

，得P（0，-

y

2

），Q（

x

3

，0），
由

HP

•

PM

=0，得（3，-

y

2

）•（x，

3

2

y）=0，
所以y²=4x，由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x＞0，
即軌跡方程為y²=4x（x＞0）；
（2）證明：動點(diǎn)M的軌跡C是以（0，0）為頂點(diǎn)，
以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線，除去原點(diǎn)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB：y=k（x-1），代入拋物線方程，可得，
k²x²-（2k²+4）x+k²=0，則x₁x₂=1，
由拋物線的定義可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
由于

AF

=λ

FB

，則有x₁+1=λ（x₂+1），
解得，x₁=λ，x₂=

1

λ

，
則有|AE|=

(x1+1)2+y12

=

x12+6x1+1

，
|BE|=

(x2+1)2+y22

=

x22+6x2+1

，
則有|AE|=λ|EB|，
則有

EF

•（

EA

-λ

EB

）=

EA +λ EB

1+λ

•（

EA

-λ

EB

）
=

1

1+λ

（

EA

2-λ2

EB

2）=0，
則有

EF

⊥（

EA

-λ

EB

）．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查向量共線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．