Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

6

，E為PA的中點．
（1）求證：PC∥平面EBD．
（2）證明：平面PAC⊥平面PBD．
（3）求三棱錐P-BCE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）如圖所示，連接AC交BD于點O．由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位線定理可得OE∥PC，再利用線面平行的判定定理即可證明PC∥平面EBD．
（2）底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，可得△ABD是等邊三角形，AO⊥BD，OB=1，OA=

3

．利用PB=PD=2，OD=OB，可得OP⊥BD．
在Rt△OPB中，利用勾股定理可得OP²=PB²-OB²=2²-1²=3．可得OP²+OA²=PA²．可得OA⊥OP，OA⊥平面PBD．進而證明平面PAC⊥平面PBD．
（3）由于點E是PA的中點，可得V_{三棱錐P-BCE}=

1

2

V三棱錐A-BCP．由于O點是AC的中點，可得V_{三棱錐A-PBC}=2V_{三棱錐A-POB}=2×

1

3

×

1

2

OP×OB×OA，即可得出．

解答： （1）證明：如圖所示，連接AC交BD于點O．
∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E為PA的中點，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）證明：∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，AO⊥BD，
∴OB=1，OA=

3

．
∵PB=PD=2，OD=OB，
∴OP⊥BD．
在Rt△OPB中，OP²=PB²-OB²=2²-1²=3．
∵PA=

6

，
∴OP²+OA²=3+3=6=PA²．
∴OA⊥OP．
又OP∩BD=O，
∴OA⊥平面PBD．
∵AO?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：∵點E是PA的中點，
∴V_{三棱錐P-BCE}=

1

2

V三棱錐A-BCP．
∵O點是AC的中點，
∴V_{三棱錐A-PBC}=2V_{三棱錐A-POB}=2×

1

3

×

1

2

OP×OB×OA=

1

3

×

3

×1×

3

=1．
∴V_{三棱錐P-BCE}=

1

2

V三棱錐A-BCP=

1

2

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面垂直與面面垂直的判定性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式，考查了了推理能力與計算能力，屬于難題．